확률과정01-확률론(1)
- 5 mins확률과정 스터디
스터디 계획
Text : 확률과 확률과정론 입문, 이외숙 저
| 주차 | 일자 | 범위 |
|---|---|---|
| 1 | 03월 13일 | 확률론(1) |
| 2 | 03월 20일 | 확률론(2) |
| 3 | 03월 27일 | 마르코프 연쇄 |
| 4 | 04월 03일 | 지수분포와 포아송 과정 |
| 5 | 05월 01일 | 재생과정 |
| 6 | 05월 08일 | 연속시간형 마르코프 과정 |
| 7 | 05월 15일 | 마팅게일 & 대기행렬이론 |
| 8 | 05월 22일 | 브라운운동 |
| 9 | 05월 29일 | 기타 |
확률과정이란?
시간에 따라 상태가 확률적으로 변해가는 것.
간단하게는, ‘언제 확률이 어떻게 나오냐?’
특정 제품의 시장 점유율, 주가, 댐 수위와 같이 시간이 우리의 고려대상이 될때.
시간 t 에 대해 확률변수를 돌려주는 상자
임의의 $t \in T$에 대하여, $X_t$가 같은 확률공간상에 정의된 확률변수일 때 확률변수들의 집합
{$X_t$ I $t \in T$} 을 확률과정이라고 한다.
$T$는 관찰 시점의 총 집합을 나타내며, 지수집합(index set) 또는 시간공간(time space)라고 한다. $t$는 자주 시간으로 해석되며, 이때 실수 $X_t(\omega) (= 편의상 X_t 또는 X(t)로 나타냄)$ 는 시점 $t$ 에서의 상태(state) 또는 위치를 나타낸다.
모든 $t$ 에 대해서 $X_t$ 가 취할 수 있는 가능한 모든 값들의 집합 $S$ 를 상태공간(state space)라고 한다. 확률과정 {$X_t$ I $t \in T$}에서 각각의 $t$에 $X_t(\omega)$ 를 대응시키는 관계를 표본 함수(sample function)이라고 하고, $t$의 변화에 따른 $X_t$값 그래프를 표본경로(sample path)라고 한다. $\omega \in \Omega$ 가 고정되면, 그때마다 하나의 표본경로를 그릴 수 있다.
확률과정 분야에서는 재고관리, 인력관리, 컴퓨터 시스템의 시간 할당 문제 등등 사회 여러 분야에서 나타나는 문제들을 해결하기 위한 한 방법으로 이를 적절한 확률과정모형으로 나타내고(modeling), 여러 확률과정이론을 이용하여 분석한 후 합리적인 해결방안을 제시하는 것을 목표로 한다.
01 확률론 기초
확률이란?
위키백과 : 어떤 사건이 실제로 일어날 것인지 혹은 일어났는지에 대한 지식 혹은 믿음을 표현하는 방법이며 같은 원인에서 특정한 결과가 나타나는 비율
국어사전 : 일정한 조건 아래에서 어떤 사건이나 사상이 일어날 가능성의 정도 또는 그런 수치.
확률을 정의하기 위해서는 확률이 정의되는 공간에 대한 정의가 선행되어야 한다.
표본공간(sample space)와 사상(=사건, event)
통계학에서 행하는 실험이나 조사에서 어떤 결과가 일어날지 확실히 말할 수 없는 경우를 확률실험이라고 한다. 즉, 결과가 Deterministic하지 않다는 것이다. 간단하게 이해하기 위해 예를 들자.
주사위를 던지는 실험에서, 우리는 어떤 눈이 나올 것인지에 대해, 그 결과를 확정적으로 말할 수 없다. 동전을 던지는 실험에서, 앞면이 뒷면이 나올지 역시, 확실히 말할 수 없다.
이러한 확률실험에서 가능한 모든 결과들의 집합을 표본공간 $\Omega$ 라고 할때, 표본공간의 부분집합의 모임이자, 사건들의 집합 $\mathcal{F}$ 와 , 각각의 사건에 대해서 그 사건이 일어날 가능성을 0과 1사이의 수로 할당하는 확률 P를 갖는 순서모임 ($\Omega, \mathcal{F}, P$)를 확률공간이라고 한다.
우리가 익숙하지 않을 $\mathcal{F}$ 에 대해서 좀 더 서술하면, $\mathcal{F}$ 는 위 정의 그대로, 표본공간의 부분집합이며, A $\in$ $\mathcal{F}$ 이면 A를 사건이라고 한다. 위 정의에서 알 수 있듯, $\Omega$ 의 모든 부분집합이 다 사건은 아니다. 사건은 “우리가 확률을 줄 수 있는” $\Omega$ 의 부분집합이다. $\mathcal{F}$ 는 만족해야되는 성질이 있다.
- $\mathcal{F}$ 는 표본공간 $\Omega$ 를 포함한다. $\Omega \in \mathcal{F}$
- $\mathcal{F}$ 는 여사건에 대해 닫혀있다. $ A \in \mathcal{F}$ 이면 $A^{c} \in \mathcal{F}$ 이다.
- $\mathcal{F}$ 는 가산합집합에 대해 닫혀있다. $n=1,2,3,…$ 에 대하여 $A_{n} \in \mathcal{F}$ 이면 $ \cup A_{n} \in \mathcal{F}$ 이다.
이러한 성질을 가지는 $\mathcal{F}$ 를 수학에서는 $\sigma$ - algebra(시그마대수)라고 한다고 한다. 이를 만족해야 확률 P를 정의할 수 있다고 한다. 측도론의 내용이니 각설하고, 표본공간이 무엇이고 사건이 무엇인지 알았으니 이제 확률의 정의에 대해 더 다뤄보도록 한다.
확률의 정의
확률의 개념은 간단하게는 전체에 대한 부분의 비로 생각할 수가 있다. 표본공간 $\Omega$가 유한개의 원소로 이루어져 있고, 각 원소가 선택될 가능성이 동등할 때의 확률의 정의는 간단하다. 사건 A가 일어날 확률 P(A)는 다음과 같다.
표본공간이 유한할 경우
유한 표본공간에서, 각 원소들이 갖는 확률이 같다고 가정할 수 없을때는 각 원소에 대한 확률을 먼저 정의해준 뒤에, 사건에 대한 확률을 정의해준다.
이때, 각 원소에 할당되는 확률이 분명할 수도 있지만,
예를 들면, 동전을 앞면이 나올때까지 던지되, 5번까지만 반복한다면
표본공간 $\Omega$ = {${H, TH, TTH, TTTH, TTTTH}$ } 의 각 원소에 대한 확률은 $1/2 , 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/32$ 로 분명하다.
그렇지 않을경우 대수의 법칙을 이용하여 근사값을 확률로 이용하기도 한다.
$n$ 번 시행에서 근원사건 {$\omega$}가 일어난 횟수를 $P_n(${${\omega}$}) 라고 할때, $P_n(${${\omega}$}) 는 $n$이 커짐에 따라 $P(${$\omega$})에 근사한다. 예를 들어, 미국에서 1974-1981에 조사된 자료로서 남아가 태어날 확률을 0.513으로 정의하고 있는데, 이는 이 기간동안 태어난 신생아 2400만명 중 남아의 비율을 구한 것이다.
표본공간의 각 원소에 대한 확률 $P(${$\omega$})가 결정되면, 사건에 대한 확률은 사건에 들어있는 각 근원사건에 대한 확률의 합으로 얻을 수 있다. 즉 $ A = $ { $\omega_{1}, \omega_{2}, … ,\omega_{k}$} 에 대한 확률 $P(A)$ 를 다음과 같이 정의한다.
표본공간이 무한한 경우
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이산인 경우(원소의 갯수가 유한이거나 가산 무한일 때)
cf 가산 무한이란 : https://a80908.tistory.com/43
원소의 수가 무한이면, 이들은 같은 크기의 양(positive)의 확률을 가질 수 없다. 따라서 각 원소에 확률을 할당한다. 이산의 무한 상태공간은 유한 상태공간과 크게 다르지 않다.
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연속인 경우(비가산무한)
원소에 확률을 할당하는 방법으로는 접근이 불가능하다. 다른 측도를 도입하여야 한다. 예를 들면 넓이라던지.. etc
위와 같은 방법은 주어진 상황마다 확률을 정의하는 방법도 다르다. 따라서 여기서는 수학적 공리를 도입하여 공리적 확률을 정의한다.
일전에 언급한 $\mathcal{F}$에서 [0,1]로 가는 실숫값 함수 P:$\mathcal{F}$ $\rightarrow$ [0,1] 가 다음 세 가지 공리를 만족하면 P를 확률 또는 확률측도 라고 부르고, 사건 A에 대한 실숫값 P(A)를 사건 A의 확률 이라고 한다.
Axiom 1 : $P(A) \ge 0$ $ \forall A \in \mathcal{F}$
Axiom 2 : $P(\Omega) = 1$
Axiom 3 : $A_1,A_2,…$ 이 서로 배반사건이면, 즉 $A_i \cap A_j = \emptyset (i\ne j)$ 이면 다음이 성립한다.
일전에 정의했던 고전적, 통계적 확률은 위 세가지 공리를 모두 만족한다. 앞으로 우리가 다룰 확률은 지금까지의 모든 확률 개념을 포함하는, 공리적 확률을 지칭한다.