확률과정08-브라운운동
- 2 minsAuthor : Jiwoo Lim
Chapter 13. 브라운운동
13.1 서론
- 브라운운동
- 액체나 기체 속에서 미소입자들이 불규칙하게 운동하는 현상
- 가우시안 & 연속상태공간을 갖는 연속시간형 마르코프& 독립증분을 가지는 확률과정
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먼저 대칭확률보행과정을 생각해보자. 이는 $P_{ii+1}= P_{ii-1}=1/2$인 마르코프과정이다. 이제 이 확률과정이 $\Delta t$시간 동안 $\Delta x$ 크기만큼 이동한다고 가정하자.
$X(t)$를 시간 t에서의 위치라고 하면 $X(t)=\Delta x(X_1+X_2+…+X_{[t/\Delta t]})$로 표현 가능하다.
여기서 $E(X_1)=0,\; Var(X_1)=1$이므로 $E(X(t))=0,\; Var(X(t))=(\Delta x)^2[t/\Delta t]$
$\Delta x=\sigma\sqrt{\Delta t}를 \;만족하고\;\Delta t\to0 $이면 $E(X(t))=0,\;Var(X(t))\to\sigma^2t$가 성립한다.
그러면 다음 3가지 성질이 성립한다.
(1) 중심극한 정리에 의해 $X(t)$는 평균이 0, 분산이 $\sigma^2t$인 정규분포로 근사한다
(2) ${X(t):t\ge0}$는 독립증분 및 정상증분 성질을 갖느다
(3) $t\to X(t)$는 확률 1로 연속함수이다. 그러나 모든 점에서 미분이 불가능하다.
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분산이 $\sigma^2$인 브라운운동
(1) $X(0)=0$
(2) 독립증분과 정상증분 성질을 갖는다
(3) $X(t)$는 평균이 0, 분산이 $\sigma^2t$인 정규분포를 따른다
=> $E(X(t))=\mu t,\;Var(X(t))\to\sigma^2t$를 만족하는 확률과정은 $\mu$와 $\sigma^2$을 각각 추세모수와 확산모수로 갖는 브라운운동!
브라운운동은 랜덤워크를 정규분포를 이용해 실수로 일반화한 확률과정!
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표준브라운운동
- $\sigma=1$인 브라운운동
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$X(t)$는 추세모수 $\mu$와 확산모수 $\sigma^2$을 갖는 브라운운동과정이고 $B(t)$를 표준브라운운동이라 하면
$X(t)=\mu t +\sigma B(t)$가 성립한다.
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표준브라운다리
- 표준브라운운동 $B(t)$에 대하여 $Z(t)=B(t)-tB(t),\; (0\le t \le 1)$로 정의되는 $Z(t)$
- $E(Z(t))=0,\;Cov(Z(s),Z(t))=s(1-t),\;(0\le s \le t\le 1)$
- 확률분포가 Wiener process(=브라운운동)의 조건부확률분포인 연속시간형 확률과정이다. 여기서 조건은 $W(T)=0$이며, 따라서 이 확률과정은 t=0과 t=T에 고정되어있다. $B_t:=(W_t\mid W_T=0),t\in [0,T],$ $B(t)=W(t)-\frac{t}{T}W(T)$이다. 기댓값은 0이고 분산은 $\frac{t(T-t)}{T}$이므로 최대의 불확실성은 다리의 중간에 있고, 양끝 노드에서는 불확실성이 0이다. 브라운다리에서의 증분은 독립적이지 않다.
- 시점 0에서 상태 a에서 출발하여 시점 T에 상태 b에 도달하는 브라운다리
- $Z(t)=a(1-\frac{t}{T})+b\frac{t}{T}+(B(t)-\frac{t}{T}B(T))$
13.2 마르코프성질, 반사원리, 최초도달시간
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브라운운동은 독립 정상증분을 가지므로 마르코프 성질을 만족한다. 즉, 현재를 알고 있으면 미래는 과거로부터 독립이다.
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$T_a$를 표준브라운운동 $B(t)$가 최초로 a에 도달하는 시간이라고 하자
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a>0일 때
- $P(B(t)\ge a)=P(B(t)\ge a\mid T_a\le t)P(T_a\le t)+P(B(t)\ge a\mid T_a> t)P(T_a>t)$
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$T_a\le t$이면 $P(B(t)\ge a T_a\le t)=\frac{1}{2}$ - $T_a>t$이면 $X(t)\ge a$는 불가하므로 두번째 항이 0이 됨
=> $P(T_a\le t)=2P(B(t)\ge a)=\frac{2}{\sqrt{2\pi t}}\int_a^\infty e^{-\frac{x^2}{2t}}dx$
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a<0일 때
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$P(T_a\le t)=2P(B(t)\ge -a)$ by 대칭성
=> $P(T_a\le t)=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_{\frac{ a }{\sqrt{t}}}^\infty e^{-\frac{y^2}{2}}dy$
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표준브라운운동 $B(t)$에서 최초도달시점 $T_a$에 대해 아래 2가지가 성립한다
(1) $P(T_a<\infty)=1$
(2) $E(T_a)=\infty$
따라서 브라운운동은 a=0을 초기값으로 설정하면 언젠가는 다시 0으로 돌아오나 그때까지 걸리는 시간의 기댓값은 무한대임을 알 수 있다. 즉 귀무재귀과정이다.
13.3 기하브라운운동
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기하브라운운동
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${X(t),t\ge0}$이 추세모수 $\mu$와 확산모수 $\sigma^2$을 갖는 브라운운동과정일 때, $Y(t)=e^{X(t)}$를 만족하는 확률과정
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t시간 이전의 정보가 주어졌을 때의 기하브라운운동 ${Y(t),t\ge 0}$의 시간 t에서의 조건부 기댓값은(s<t)
$E(Y(t)\mid Y(u),0\le u\le s)\=E(e^{X(t)}\mid X(u),0\le u \le s)\=E(e^{X(s)+X(t)-X(s)}\mid X(u),0\le u \le s)\=e^{X(s)} E(e^{X(t)-X(s)}\mid X(u),0\le u \le s)\=Y(s)E(e^{X(t)-X(s)})\=Y(s)*e^{\mu(t-s)+\frac{\sigma^2(t-2)}{2}}$
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기하브라운운동은 주식가격을 모형화하는 데 유용하게 쓰인다. $Y(t)$를 시간 t에서의 주가라 하고, 주가의 변화율들 $Y(t)/Y(t-1)$이 iid라고 가정하자. $Z(t)=Y(t)/Y(t-1)$라 두면 $Y(t)=Z(t)Z(t-1)..Z(1)Y(0)$이 성립한다. 즉, $log(Y(t))=\sum_{i=1}^{t}log(Z(i))+log(Y(0))$이 성립한다. 여기서 $log(Z_i)$는 iid하므로 이를 연속형확률과정으로 생각하면 확률보행과정 $X(t)=\sum_{i=1}^t log(Z(i))$는 브라운운동을 한다. 따라서 $Y(t)=Y(0)e^{X(t)}$를 얻으며, $Y_t$는 기하브라운운동이 된다.